METODE BEDA HINGGA

STATISTIK DAN PROBABILITAS

NAMA     :     JASMAN

NPM        :      17-630-002

METODE BEDA HINGGA

A.    Pengertian Metode Beda Hingga

Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam satu dimensi, domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi ( Li, 2010).

Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan.

Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu berikutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.

Berdasarkan ekspansi Taylor di atas, terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan yaitu skema maju, skema mundur, dan skema tengah.

1. Skema maju

       

Pada skema maju, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung i+1 yang berada di depannya.

        

2. Skema mundur

       

Pada skema mundur, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung (i-1) yang berada di belakangnya.

    

       

3. Skema tengah

       

(Anderson, 1984).

B.     Metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial

Salah satu cara utk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lbh dikenal dgn finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supaya gak lupa, penurunannya saya berikan di sini.

1.      Forward difference

Untuk forward difference, kita ingin mencari nilai suatu fungsi jika independent variablenya digeser ke depan (makanya namanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

        

Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol ∂2f/∂x2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik f(x) tsb jika x digeser sebesar ∆x.

Oleh karena nilai setelah term pertama di atas tidak signifikan dibandingkan dgn term kedua, maka bisa kita bilang klo:

        

Hubungan di atas menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke depan (lbh besar dari x).

2.      Backward difference

Pertanyaan yang sama juga kita berikan untuk backward difference. Jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x-∆x)? Atau berapakah nilai fungsi tersebut jika independent variablenya digeser ke belakang sebesar ∆x. Ekspansi Taylor dituliskan sebagai berikut:

          

Hubungan terakhir ini menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tersebut sebesar ∆x ke belakang (lbh kecil dari x).

3.      Central difference

Jenis bedar ketiga adalah beda tengah, di mana kita akan mencari kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

           

4.      Second order derivation

Setelah pendekatan orde satu bisa kita turunkan sseperti di atas, sekarang kita bisa menurunkan persamaan untuk pendekatan orde dua. Penurunan di bawah ini saya mulai dari mengambil persamaan orde satu dari beda depan (forward difference) yang mengandung penurunan orde dua (second order differential). Fungsi ∂2f/∂x2saya keluarkan, dan persamaan untuk  ∂f/∂x  nya saya ambil dari pendekatan beda belakang (backward difference).

  

        

Dengan adanya dua pendekatan (orde satu dan orde dua) ini, kita bisa bekerja dengan contoh berikut:

      

Penyelesaian analitiknya adalah sebagai berikut:

     

Kondisi batas yg kita ketahui adalah sebagai berikut:

u pada r = 2 atau u(2) = 0.008

u(6.5) = 0.003

Yg ditanyakan adalah berapa nilai u di antara kedua nilai batas di atas.

Dengan metode beda hingga ini, kita akan membuat node2. Katakanlah kita buat 4 node. Node yg pertama adalah saat u(2), dan node yg keempat adalah u(6.5). 4 node yg kita pilih terdiri atas 3 rentang, yakni rentang node 1-2, rentang node 2-3, dan rentang node 3-4. Jarak rentang tsb adalah (6.5-2)/3 = 1.5. Maka, node 2 adalah 2+1.5 = 3.5. Node 3 adalah 3.5+1.5 =5. Yg skrg ingin kita ketahui tentunya adalah nilai u pada saat r = 3.5 atau u(3.5) dan u(5).

Untuk yg pertama ini, kita akan gunakan pendekatan beda maju utk orde satu. Dengan memasukkan pendekatan yg udah kita turunkan ke persamaan diferensial di atas, kita dapat:

    , dgn i = node.

Persamaan ini kita utak-atik untuk mendapatkan penyelesaian untuk ui, sehingga kita bisa menyusun persamaan untuk u2 dan u3. Sementara u1 dan u4 sudah kita ketahui sebagai kondisi batas. Kalau saya selesaikan di excel, akan didapat sebagai berikut:

  

      

Perbandingan hasil pendekatan ini dengan hasil analitiknya menghasilkan error sebesar 6.66% utk u2 atau u(3.5) dan error sebesar 5.12% utk u3 atau u(5).

Jika saya gunakan beda tengah utk pendekatan orde satu, akan diperoleh hasil sebagai berikut:

      

Hasil perhitungan dengan pendekatan beda tengah ternyata lebih akurat dari pada pendekatan beda maju (dan jg drpd beda mundur). Error untuk u(3.5) menjadi 2.43% dan error untuk u(5) menjadi 1.68%.

Jika saya menggunakan node yg lbh banyak, dalam artian saya melakukan perhitungan yg lebih detail, dengan 8 node misalnya. Dan tetap menggunakan beda tengah, akan didapat hasil sebagai berikut:

      

Seperti yang diharapkan kalau hasil perhitungan dengan node yang semakin banyak atau perhitungan semakin detail, maka hasilnya akan mendekati hasil analitiknya. Error yg diperoleh untuk setiap r di atas semuanya di bawah 0.5%.